Mathématiques

Question


Positivité de la fonction exponentielle
L'objectif de cet exercice est de démontrer que la fonc
tion exponentielle est strictement positive à l'aide d'un
raisonnement par l'absurde

1. Justifier que la fonction exponentielle est continue
sur R.

2. En simplifiant exp (x) * exp (-x), x étant un nombre réel, Justi-
fier que la fonction exponentielle ne s'annule pas.

3. a. Ralsonner Supposons qu'll existe un nombre réel
a tel que e" <0. Montrer que la fonction exponentielle
change alors de signe entre 0 et a.

b. En déduire qu'il existe un nombre réel b entre 0 et a
pour lequel la fonction exponentielle s'annule.

c. Conclure.

Pour la 1ere question j ai marqué que exp(x) est dérivable sur R est donc continue

Pour la deuxième j ai fais une simplification et j ai mis que c était égale à 1

Pour le reste je suis bloqué. Merci pour votre aide
Positivité de la fonction exponentielle L'objectif de cet exercice est de démontrer que la fonc tion exponentielle est strictement positive à l'aide d'un raison

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1 Réponse

  • Réponse :

    Bonsoir

    Je suis d'accord avec toi pour les réponses 1) et 2)

    Pour compléter le 2, tu dois dériver [tex]e^{x} X e^{-x}[/tex]  pour arriver à montrer que la dérivée est nulle donc e^{x} X e^{-x} = 1. la fonction est constante

     

    3)  J'espère pouvoir t'aider :

    exp(0) = 1, la fonction est positive or si il existe un réel a tel que exp(a) < 0, alors la fonction exponentielle est négative, donc entre 0 et a elle change de signe.

    Puisque la fonction exponentielle est continue, il existe donc un réel b entre 0  et a tel que exp (b) = 0.

    c) D'après le 2) la fonction exponentielle ne s'annule jamais, les réels a et b ne peuvent exister, la fonction exponentielle est donc strictement positive.

    Explications étape par étape :

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