Pour tout entier naturel n, on note un l'air du trapèze délimité par la droite d'équation y= 1/2x+2, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=n et x=n+1
Mathématiques
ManonNosDevoirs
Question
Pour tout entier naturel n, on note un l'air du trapèze délimité par la droite d'équation y= 1/2x+2, l'axe des abscisses et
les droites d'équation x=n et x=n+1
a) Exprimer Un en fonction de n.
En déduire la nature de la suite (Un)
b) On pose S=U0+U1+U2+....+U9.
Calculer S pas deux méthodes différentes.
c) Soit Sn=U0+U1+U2+...Un
Calculer Sn en fonction de n
les droites d'équation x=n et x=n+1
a) Exprimer Un en fonction de n.
En déduire la nature de la suite (Un)
b) On pose S=U0+U1+U2+....+U9.
Calculer S pas deux méthodes différentes.
c) Soit Sn=U0+U1+U2+...Un
Calculer Sn en fonction de n
1 Réponse
-
1. Réponse editions
soit f(x)=1/2x+2
la hauteur d'un trapèze c'est n+1-n=1
La petite base c'est f(n)=(1/2)n+2
La grande base c'est f(n+1)=1/2(n+1)+2
L'aire du trapèze est donc:
[(1/2)n+2 + 1/2(n+1)+2]*1/2 (voir la formule de l'aire du trapèze
donc Un=(1/2)n+9/4
U(n+1)=(1/2)(n+1)+9/4=1/2
Il s'agit d'une suite arithmétique de raison 1/2 et de premier terme U0=9/4
Pour calculer la somme des termes de cette suite on peut soit les calculer à la main, soit utiliser la formule qui donne la somme des termes d'une suite arithmétique: nb de termes*(U0+Un)/2
avec Un=U0+nr=9/4+9*1/2=27/4
De U0 à U9 il y a 10 termes
donc S9=10*(9/4+27/4)/2=45
On peut faire comme j'ai fait au début:
S9=1/2(0+1+2+3+5+6+7+8+9) + 10*9/4 (parce qu'il y a 10 termes de U0 à U10)
On sait que (0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=9(9+1)/2=45
Donc S9=45/2 +90/4=45
c)
Un=Uo+n*r=(1/2)n+9/4
Sn=(n+1)(U0+Un)/2=(n+1)(9/4+(1/2)n+9/4)/2=(n+1)*(n+9)/4
On peut aussi faire comme j'ai fait sur l'autre page:
On que (0+1+......+n)=n(n+1)/2
donc Sn=n(n+1)/4 + (n+1)*9/4=(n+1)*(n+9)/4