Bonjour/Bonsoir, j'aurai besoin d'aide avec ce numero que je n'arrive pas a faire s'il vous plait. Je suis en Terminale et cet exercice est sur le raisonnement

Réponse :

f(x) = 3 - 1/(x+1)   définie sur J = [0 ; + ∞[

a) calculer f ' la fonction dérivée de f et en déduire le sens de variations de  f sur J

la fonction f est dérivable sur J et sa dérivée f ' est :

f '(x) = 1/(x + 1)²

puisque (x + 1)² > 0  et  1 > 0  donc  1/(x + 1)² > 0   donc f '(x) > 0

donc f est croissante sur J

b) pour tout entier n ∈ N ; on a; Un+1 = f(Un)  et U0 = 5

En utilisant le résultat de la question précédente et en utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que Un ≥ 0 et déterminer le sens de variations de la suite (Un)

* Initialisation :  vérifions que pour n = 0  ; P(n) est vraie

                             U0 = 5 ≥ 0  donc P(0) est vraie

* Hérédité :  on suppose par hypothèse qu'au rang n;  P(n) est vraie c'est à dire Un ≥ 0  et montrons que P(n+1) est vraie

  en partant  que  Un ≥ 0  ⇔  Un  + 1 ≥  1   ⇔  - (Un  + 1) ≤ - 1

⇔  - 1/(Un + 1) ≥ - 1    (car la fonction f est croissante sur J)

⇔ 3 - 1/(Un + 1) ≥ - 1 + 3  ⇔ Un+1 ≥ 2 ≥ 0  donc  Un+1 ≥ 0

donc  P(n+1) est vraie

* conclusion :  P(0) est vraie au rang  n = 0  et par hérédité  P(n) est vraie au rang n ; donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel n

étant donné que Un+1 = f(Un)

f est dérivable sur J et  f '(x) > 0 sur J donc f est croissante sur J  et (Un) est croissante sur N

c) démontrer que la suite (Un) converge

  montrons que la suite (Un) est majorée par 3

on écrit  Un ≤ 3   ⇔ Un - 3 ≤ 0  et étudions son signe

Un - 3 = 3 - 1/(Un + 1)  - 3

           = - 1/(Un + 1)     or Un ≥ 0  donc  Un + 1 > 0  et - 1 < 0  donc

- 1/(Un  + 1) < 0  donc  Un  - 3 < 0  ⇔ Un < 3   donc la suite (Un) est majorée par 3

puisque (Un) est croissante sur N   donc  (Un) est convergente

4) déterminer la limite L de cette suite

     lim (3 - 1/(Un + 1) = L = 3

     n→ + ∞  

Explications étape par étape :