.Soit x et y deux entiers naturels tels que: [tex] {x}^{2} - {y}^{2} = 28(1)[/tex] . Déterminer tous les entiers naturels x et y qui vérifient la relation (1

Bonjour,

x² - y² = 28 ⇒ x > y

Posons : x = y + a    a entier naturel

soit : x - y = a et x + y = 2y + a

Alors :

x² - y² = 28

⇔ (x - y)(x + y = 28

⇔ a(2y + a) = 28

⇒ a divise 28

Soit :    a = 1 ou 2 ou 4 ou 7 ou 14 ou 28

et 2y + a = 28 ou 14 ou 7 ou 4 ou 2 ou 1

par différence :

2y = 27 ou 12 ou 3 ou -3 ou -12 ou -27

Or y est un entier naturel et 2y est pair.

⇒ 2y = 12 ⇒ y = 6, soit a = 2

et par conséquent : x = 6 + 2 = 8

Donc unique solution : (x,y) = (8,6)