Bonjour j’aurais besoin d’aide pour cet exercice svp : la fonction d définie sur R\{0} par d(x) = x + 1 /x et la fonction u définie sur R\{2} par u(x)= 4 /2−x

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Il faut que tu te rendes compte de l'importance des (...) .

On aurait pu comprendre d(x)=x  + (1/x) avec 1/x tout seul !!

On résout par exemple d(x) > u(x) soit :

(x+1)/x > 4/(2-x)

(x+1)/x - 4/(2-x) > 0.

Réduc au même déno :

[(x+1)(2-x)-4x] / x(2-x) > 0

Tu développes le numé et à la fin :

(-x²-3x+2)/x(2-x) > 0

Il faut le signe de (-x²-3x+2) qui est > 0 entre les racines car le coeff de x² est < 0.

Δ=(-3)²-4(-1)(2)=17

x1=(3+√17)/-2≈ -3.56

x2=(3-√17)/-2 ≈ 0.56

Tableau de signes :

x---------------->-∞...................x1...................0....................x2...........2..............+∞

x---------------->...........-......................-...........0...........+................+..............+.....

(2-x)----------->............+..................+.........................+................+.......0........-.......

(-x²-3x+2)--->...........-.............0...........+..................+.........0.........-.................-.........

d(x)-u(x)---->...............+..........0...........-.......||...........+.........0.......-......||.........+..........

Les valeurs de x1 et x2 sont données plus haut.

Donc :

d(x)-u(x) > 0 donc d(x) > u(x) pour x ∈ ]-∞;x1[ U ]0;x2[ U ]2;+∞[

Donc :

Pour x ∈ ]-∞;x1[ U ]0;x2[ U ]2;+∞[ , la courbe de d(x) est au-dessus de la courbe de u(x).

Pour  x ∈ ]x1;0[ U ]x2;2[ , la courbe de d(x) est au-dessous de la courbe de u(x).

Voir graph pour contrôle.