Bonjour pourriez-vous m'aider pour ses exercices sur les suites svp ? à l'aide d'un quotient de terme, déterminer les variations de la suite (Un), supposée stri

Réponse :

Explications étape par étape :

a)un+1= 1 /(n + 1)^2 - 1

calculons :    un+1/un   - 1  = 1 /[ (n+1)^2 - 1]x [n^2 -1 / 1 ]  -  1

car un+1/un= un+1x(1/un)   1 / [n^2 +2n +1 -1]x [n^2 -1 ]  - 1

                                            1/[ n^2 + 2n ]x [n^2 - 1]  -  1

                                              n^2 -1 / [n^2 + 2n ]   -   1  den com:n^2 +2n

                                              n^2 - 1 - (n^2 + 2n) / den com

                                              n^2 - 1 - n^2  - 2n/ den com

                                                           -1 -2n /n^2 +2n

n>0 donc n^2 +2n>0 et  -2n<0 donc -1 -2n<0  le numérateur est toujours négatif,le dénominateur est toujours positif donc le quotient est négatif

donc un+1/un  - 1 <0  soit un+1/un <1  alors un+1 < un

la suite (un )est décroissante.

b)un+1=4^n+2+1 / 3^n+1

exprimons un+1 / un =[ 4^n+2+1 /3^n+1 ] /[ 4^n+2 / 3^n]  or a/b= ax b^(-1)

                                     =[4^n+2+1 / 3^n+1 ] x  [3 ^n / 4^n+2 ]

                                     =[4^n+2+1 x 3^n] / [3^n+1 x 4^n+2]

on peut simplifier les  2 termes du quotient par  4^n+2 et par  3^n

on obtient: un+1 / un   =  4  / 3

le quotient est supérieur à 1 donc un+1 > un: la suite( un) est croissante.