J'ai besoin d'aide pour ce dm de maths svp ​

Réponse :

f(x) = x³  définie sur R

1) a) montrer que pour tout réel h ≠ 0 ,  (f(1+h) - f(1))/h = h²+3 h + 3

(f(1+h) - f(1))/h = ((1+h)³ - 1)/h = [(1+3h+3h²+h³) - 1]/h = (h³ + 3 h² + 3 h)/h

= h(h² + 3 h + 3)/h = h² + 3 h + 3

b) en déduire que la fonction f est dérivable en 1 et préciser le nombre dérivé de f en 1

  lim  (f(1+h) - f(1))/h = L   donc  lim (h²+3h+3) = 3

  h→0                                         h→0

donc L = 3  donc la fonction f est dérivable en 1  et son nombre dérivé est f '(1) = 3

2) soit a un réel quelconque

a) montrer que, que pour tout réel h ≠ 0, (f(a+h) - f(a))/h = h²+3ah+3a²  

    f(a+h) = (a+h)³ = (a + h)(a² + 2ah + h²) = a³ + 2a²h+ah²+ha² + 2ah²+ h³

                            = h³ + 3a²h+ 3ah²+a³

 (f(a+h) - f(a))/h = (h³ + 3a²h+ 3ah²+a³ - a³)/h = (h³ + 3a²h+ 3ah²)/h

= h((h² + 3ah+ 3a²)/h = h²+3ah + 3a²

b) en déduire que la fonction f est dérivable en a et préciser le nombre dérivé de f en a

 lim  (f(a+h) - f(a))/h = L   donc  lim (h²+3ah+3a²) = 3a²

  h→0                                         h→0

donc L = 3a²  donc la fonction f est dérivable en a  et son nombre dérivé est f '(a) = 3a²

3) déterminer une équation de T, la tangente à Cf en sont point d'abscisse 1

l'équation de la tangente T  s'écrit   y = f(a) + f '(a)(x - a)

pour a = 1  ⇒ y = 1  + 3(x - 1) = 3 x - 2

Explications étape par étape :