bonjour merci pr vos éventuelles réponses Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3 – 21x – 20. 1) Montrer que 5 est une racine de f(x). 2) Expliquer pourq
Question
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3 – 21x – 20.
1) Montrer que 5 est une racine de f(x).
2) Expliquer pourquoi il existe des réels a, b et c tels que f(x) = (x - 5)(ax2 + bx + c).
3) Développer et réduire (x - 5)(ax2 + bx + c) et en déduire les coefficients a, b et c. b
Indication : Si les coefficients des termes de même degré de deux polynômes sont égaux, alors ces polynomes sont égaux.
4) Résoudre alors l'équation f(x) = 0.
1 Réponse
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1. Réponse Bernie76
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
5³-21*5-20=125-105-20=0
Donc x=5 est racine de :
x³-2x-20=0.
2)
Supposons vrai :
f(x)=(x-5)(ax²+bx+c)
Alors f(x)=0 implique :
x-5=0 OU ax²+bx+c=0.
x=5 ou ax²+bx+c=0
5 est donc bien racine comme montré en 1).
Notre supposition : f(x)=(x-5)(ax²+bx+c) est vérifiée.
3)
Tu développes tout seul et à la fin , tu trouves à la fin :
f(x)=ax³+(b-5a)x²+(c-5b)x-5c
Par identification avec f(x)=x³-21x-20 , il faut :
a=1
b-5a=0 ==>b-5=0 ==>b=5
c-5b=-21 ==>c-25=-21 ==> c=4
-5c=-20 ==> c =4
Donc :
f(x)=(x-5)(x²+5x+4)
4)
On résout donc seulement :
x²+5x+4=0 ==>tu peux calculer Δ=b²-4ac , etc. ou remarquer :
x=-1 est racine évidente car (-1)²+5(-1)+4=1-5+4=0
Donc :
x²+5x+4=(x+1)(x+4)
x²+5x+4=0 donne :
(x+1)(x+4)=0
x+1=0 OU x+4=0
x=-1 OU x=-4
f(x)=0 a 3 racines :
x=5 ; x=-1 ; x=-4