bjr,Montrer que si p est un nombre premier alors p est premier avec p+1​

bonjour

Montrer que si p est un nombre premier alors p est premier avec p+1​

                               soient 2 entiers p et p + 1

• supposons que p et p+1 ne soient pas premiers entre eux (1)

alors il existe en entier k > 1 qui est diviseur à la fois de p et de p + 1

k étant diviseur de p et de p + 1 est diviseur de leur différence

(p + 1) - p soit 1  

k est donc un diviseur de 1

or le seul diviseur de 1 est 1

• Il n'existe pas d'entier supérieur à 1 qui divise à la fois p et p+1

la supposition (1) est fausse

p et p+1 sont premiers entre eux

remarque :

ce raisonnement ne fait pas intervenir l'hypothèse p est premier

en fait il prouve que 2 entiers consécutifs quelconques p et p + 1 sont  

toujours premiers entre eux