Bonjour, J'ai besoin d'aide pour ce Dm niveau Terminale Spé maths sur les fonctions . merci de votre aide !​

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

exo 1 :

a)

f(x)=0 ==>x ≈ 0.5

f(x) < -2 ==> x ∈ ]-5;-1[

b)

f '(x)=0 : ==>tgtes horizontales donc pour :

x=-2 et x=1

c)

f '(0) est la pente de la tgte en x=0.

f '(0) ≈ 2.5

d)

x--------->-∞...................-2.................1.................+∞

f '(x)----->........-..............0........+.........0......-...........

f(x)------->..........D.......≈-3.2....C.........≈2.3.......D......

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

Exo 2 :

a)

Il faut x+1 ≠ 0 soit x≠-1

Df=IR-{1}

b)

La limite en - et + ∞ :

f(x)=x(4+3/x)/x(1+1/x)

On simplifie par x qui est ≠ 0.

f(x)=(4+3/x) / (1+1/x)

Quand  x tend vers - ou +∞ : 3/x et 1/x tendent vers zéro.

Donc :

lim f(x)=4/1=4

Limite  en x=-1 avec x <  -1  :

Le numérateur tend vers -4+3=-1 et le déno tend vers zéro par valeurs négatives .

Donc :

lim f(x)=+∞ ( quotient de 2 nbs < 0)

Limite  en x=-1 avec x >  -1 :

Le numérateur tend vers -4+3=-1 et le déno tend vers zéro par valeurs positives .

Donc :

lim f(x)=-∞ ( quotient d'un nb négatif et d'un nb positif)

On a donc 2 asymptotes :

y=4 et x=-1

c)

f est de la forme u/v.

u=4x+3 donc u'=4

v=x+1 donc v'=1

f '(x)=[4(x+1)-(4x+3)]/(x+1)²=

f '(x)=1/(x+1)²

d)

f ' (x) est toujours positive donc f(x) toujours croissante.

Tu fais le tableau.

e)

Equa tgte en x=0 :

y=f '(0)(x-0)+f(0)

f '(0)=1 et f(0)=3

y=x+3

f)

Il faut calculer f "(x).

f '(x)=1/(x+1)² ou  f '(x)=1/(x²+2x+1)

La dérivée de 1/u est -u'/u².

Ici u=x²+2x+1 donc u'=2x+2

f "(x)=(-2x-2)/(x+1)^4

f "(x) s'annule et change de signe pour :

-2x-2=0 soit x=-1

f "(x) <  0 pour x > -1 et f "(x) > 0 pour x < -1.

f(x) est convexe pour x ∈ ]-∞;-1[ et concave pour x ∈ ]-1;+∞[

g)

Tu fais seul.

h)

On résout :

(4x+3)/(x+1)=x

4x+3=x(x+1)

x²+x-4x-3=0

x²-3x-3=0

Δ=(-3)²-4(1)(-3)=21

x1=(3-√21)/2 ≈ -0.8

x2=(3+√21)/2 ≈ 3.8