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Question

Bonjour, j’ai du mal à résoudre cet exercice est ce que quelqu’un pourrais m’aider ?

f est la fonction définie sur [0 ; + infinie] par f(x) = 2e-4.

On note C la représentative de f dans un repère orthonormé d'origine O.

On inscrit un rectangle AMNP entre l'axe des abscisses et la
courbe C comme le montre la figure ci-contre.

Déterminer les dimensions du rectangle OMNP d'aire maximale.

La figure est en pièce jointe, merci ^^
Bonjour, j’ai du mal à résoudre cet exercice est ce que quelqu’un pourrais m’aider ? f est la fonction définie sur [0 ; + infinie] par f(x) = 2e-4. On note C la

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1 Réponse

  • Réponse :

    Re bonjour, attention quand tu recopies un énoncé vérifie ou joins une copie.

    Explications étape par étape :

    Le rectangle a pour longueur OM=x et pour largeur MN=f(x)=2e^-x

    Son aire est donc A=OM*MN soit

    A(x)=2x*e^-x  ou A(x)=2x/(e^x)

    il nous faut étudier cette fonction sur [0; +oo[

    limites

    si x=0, A(x)=0

    si x tend vers +oo, A(x)tend vers 0+

    Dérivée A(x) est une fonction quotient u/v sa dérivée (u'v-v'u)/v²

    A'(x)=[2e^x-(e^x)(2x)]/(e^x)²=(e^x)(2-2x)/(e^x)²=(2-2x)/(e^x)

    A'(x)=0 pour x=1

    Tableau de signes de A'(x) et de variations de A(x)

    x       0                          1                                 +oo

    A'(x)            +                0                 -                  

    A(x)   0    croi               A(1)        décroi             0+

    l'aire du rectangle est maximale pour x=1

    les dimensions du rectangle sont OM=1 u.l  et MN=f(1)=2/e=0,736  u.l

    et A(1)=2/e  u.a      soit 0,736 u a (environ)

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