Bonsoir, Pouvez-vous m'aider à résoudre cette exercice sur la dérivation. Merci d'avance.

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

f(x) = - x² + 2x + 3 = 0

Calculons Δ = b² - 4 ac

avec a = - 1 b = 2 c = 3

Δ = (2)² - 4(- 1)(3)

Δ = 4 + 12

Δ = 16 > 0 donc √Δ= √16 = 4

donc l'équation -x² + 2x + 3 = 0 admet deux solutions

x₁= (-b -√Δ) /(2a)                 x₂=(-b + √Δ) /(2a)

x₁=( - (2) - 4)/(2(-1))                 x₂= ( - (2) + 4)/(2(-1))  

x₁=  (- 6) /(-2 )              x₂= 2/(-2)

x₁=3                 x₂ = - 1

f peut s'écrire de la forme a (x  - x₁)(x - x₂)

f(x) = - (x - 3)(x + 1)

f(x) = (3 - x) (x + 1)

f s'annule pour x = 3 ou x = - 1

la courbe passe par les points A (-1;0) et B(3;0) par l'axe des abscisses

f est dérivable sur Ir donc on a sa dérivée

f'(x) = - 2x + 2 = 2 - 2x = 2 (1 - x)

f' s'annule si 2(1 - x) = 0

si x = 1

calculons la valeur de f(-1)

f(1) = -(1)² 2(1) + 3 = - 1 + 2 + 3 = 4

tableau de variation de f

 x                     -∞                                 - 1                        +∞

_________________________________________________

f'                                     +                     ⊕                        -

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f                          croissante                  4                 décroissante

donc la courbe l'axe des ordonnées en au point D (-1,4)

  2)

f'(1) = 0 voir question précédente

équation d'une tangente

y=f′(a)(x−a)+f(a) pour abscisse a

a = - 1

y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1)

f'(-1) = 2(1 - (-1) ) = 2 (2) = 4

f(-1) = 0

donc on a la tangente en a = - 1 qui est

a = - 1

y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1)  = 4 (x + 1) + 0 = 4x + 4

a = 3

y = f'(3)(x - 3) + f(3)

f(3) = 0

f'(3) = 2 (1 -3) = 2 ( - 2) = -4

donc on a la tangente en a = 3 qui est

a = 3

y = f'(3)(x - 3) + f(3)

y = - 4 ( x -3) + 0

y = - 4 x + 12

Je te laisse le loisir d'effectuer la courbe et ses tangentes