Bonjour j'aurai besoin d'aide pour cette exercice, merci d'avance​

Réponse :

g est définie sur R par g(x) = x² - 21 x - 20

1) montrer que 5 est une racine de g(x)

        g(5) = 5³ - 21*5 - 20

                = 125 - 105 - 20

                = 125 - 125

                = 0

Donc  g(5) = 0  ⇒ 5 est une racine de g(x)

2) expliquer pourquoi il existe des réels a, b , c  tels que

g(x) = (x - 5)(a x² + b x + c)

puisque 5 est une racine de g(x) donc  g(x) s'écrit par le produit d'un polynôme du 1er degré et par un polynôme du second degré  de type

a x² + b x + c  ; où a, b et c sont des réels  car  g(x) est de degré 3

3) développer (x - 5)(a x² + b x + c) et en déduire a, b et c

 (x - 5)(a x² + b x + c) = a x³ + b x² + c x - 5a x² - 5b x - 5c  

                                   = a x³ + (b - 5a) x² + (c - 5 b) x - 5c

a = 1

b - 5a = 0  ⇔ b = 5

c - 5b = - 21  

- 5c = - 20  ⇔ c = 20/5 = 4

g(x) = (x - 5)(x² + 5 x + 4)

4) résoudre alors l'équation g(x) = 0

g(x) = 0  ⇔ (x - 5)(x² + 5 x + 4) = 0    produit de facteurs nul

x - 5 = 0  ⇔ x = 5  ou  x² + 5 x + 4 = 0

Δ = 25 - 16 = 9 > 0  l'équation possède 2 racines distinctes

x1 = - 5+3)/2 = - 1

x2 = - 5-3)/2 = - 4

S = {- 4 ; - 1 ; 5}

Explications étape par étape :